Финансовая математика в ЕГЭ: как научить школьника решать 17 номер?

Ученик, который сдает профильную математику наверняка рассчитывает поступить с ней в вуз, иначе зачем так напрягаться? Только весь масштаб катастрофы школьник средней руки осознает, когда доберется до части с развернутым ответом, ведь без нее баллов, скорее всего, не хватит. На наш взгляд, самые «дешевые» 3 балла можно получить за задачу на финансовую математику в ЕГЭ.

Напомним, что прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• задачи на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

Мы уже рассказали, как научить школьника решать любую задачу на кредиты. Прелесть этих прототипов в том, что любой подобный номер решается по единому алгоритму. Однако никто не отменял менее удачливых школьников, которым попадется другой вид задач. Потому в этой статье мы покажем, как научить выпускника решать задачи на ценные бумаги и, самое страшное, оптимальный выбор. Поехали!

Финансовая математика в ЕГЭ: задачи на вклады и ценные бумаги

На самом деле это еще один «подарочный» прототип. Обычно это довольно простая задача на проценты, но нюансы, конечно, есть. Преподавателю придется сконцентрировать снимание школьника на трех вещах:

• Механизм работы вкладов и ценных бумаг. Даже если школьник может представить себе, как работает вклад, то ценные бумаги, вероятно, вообще темный лес. Как показывает, практика, каждое незнакомое слово в условии дает +50 к панике и увеличивает шансы того, что к задаче не приступят вовсе.

Предложите школьнику воспользоваться демо-режимом в каком-нибудь брокерском приложении. Например, «Сбербанк Инвестор» позволяет целый месяц торговать на виртуальном брокерском счете и дает на это 400 тысяч виртуальных рублей. Может, именно ваш ученик станет следующим Уорреном Баффетом! 

• Оформление. Каждый символ в бланке ответа должен быть выверен. Например, частая ошибка оформлять математическую модель уравнением, когда в условии стоит формулировка «не больше» или «не меньше». За такие погрешности школьник лишится баллов за 17 номер.
• Вычисления. Преподаватель должен демонстрировать культуру вычислений с самой первой встречи с учеником. Какой смысл в выверенных алгоритмах решения, если подопечный закопается в цифрах? Научите школьника не спешить, продумывать расчеты на пару ходов вперед. Зачем умножать, если в следующем действии придется делить, и все лишнее сократится? Зачем считать дискриминант до конца, если из получившегося огромного числа придется извлекать нетабличный корень?

Задача 1

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Самый, на наш взгляд, изящный способ решить эту задачу — понять, в какой момент станет выгодно хранить деньги в банке? Покажите школьнику, как меняется стоимость каждый год:

• 1 год: если оставим бумагу, то заработаем 2000. А если продадим и положим в банк, то только 10% от 7000, то есть 700 рублей;
• 2 год: бумага все еще принесет 2000, а вот депозит уже принес бы 900;
• 3 год: 2000 против 1100…

То есть прибыль от ценной бумаги сохраняется, а депозит с ростом ее стоимости может приносить все больше. Когда же он станет выгодным? Когда 10% от стоимости бумаги перевалят за 2000:

Осталось решить неравенство и не забыть, что n – целое число лет.

То есть, когда срок будет равен 6-ти годам, неравенство еще не выполнится. Когда пройдет 7 лет, и бумага подорожает еще на 2000, сумма станет достаточной, чтобы проценты на депозите давали больше. Значит, на восьмой год можно ее продавать.

Ответ: в течение 8-го года.

Финансовая математика в ЕГЭ: задачи на оптимальный выбор

Ну вот мы и добрались до самого неприятного варианта. Во-первых, тут надо уметь работать с условием текстовых задач. Во-вторых, бегло владеть методом исследования функций с помощью производной. И если второе укладывается в алгоритм, то первое далеко не всегда.

Если в задачах с кредитами набор прототипов очень ограничен, и там трудно придумать что-то новое, то на задачах на оптимальный выбор народ разгулялся. Тут может происходить всё что угодно: 

• Покупка и продажа ценных бумаг;
• Движение двух объектов по перпендикулярным траекториям;
• Строительство заводов и оплата труда рабочим;
• Деление огорода под посадки…

Хорошая новость в том, что далеко не все задачки, которые вам попадутся, могут встретиться на экзамене. Большинство самых страшных номеров — это усложненные варианты от Александра Ларина. Ими вполне можно развлечь сильного ученика, но не стоит пугать ими того, кто «плавает». Каждый прототип, который к вам принес школьник с квадратными от испуга глазами, стоит проверить на принадлежность к авторам ФИПИ.

Мы рассмотрим 2 самых распространенных прототипа:

• Первый — из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2021 года,
• Второй — более древний, но зато математическая модель из него встречается в задачах ФИПИ чаще всего.

Задача 2.1

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу,то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x² + x + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Первым делом убедитесь, что школьник понимает условие задачи: предложите ему пересказать ситуацию своими словами.

Если выкинуть из задачи все «лишнее», то получится, что завод хочет заработать как можно больше, и может добиться этого, выпустив больше единиц товара. То есть нам надо узнать, при каком значении x функция прибыли примет максимальное значение, цена тут будет считаться уже зафиксированной:

Перед нами функция, которую необходимо исследовать на максимум. Дайте школьнику подумать, вдруг он осознает, что уже владеет инструментом для такого исследования? Если не осознает, проведите аналогию с 12-ым номером.

Ищем производную, учитываем, что p – константа:

Приравниваем к нулю:

Словом, пока ничего нового, за исключением наверняка очень пугающей школьника второй переменной. Главное — чтобы подопечный не расставлял знаки интервалом по инерции, как это часто происходит в неравенствах. Напомните, что тут всегда проверяем знак подстановкой в исследуемую функцию. Например, правее точки экстремума будет точка p, а левее – p-2.

Мы выяснили, что прибыль будет максимальная, если выпускать p-1 единицу товара. Школьнику следует хорошо подумать, и понять, что дальше.От нас хотят узнать, за какую цену следует продавать товар, чтобы прибыль окупила вложенные в завод 75 млн за 3 года. Будем очень аккуратными с моделью:

Подставим подсчитанное количество единиц товара x=p-1:

Ясно, что отрицательная цена нас не устраивает, а вот первое положительное значение, при котором неравенство выполняется — это 9. Заставляйте школьника рассуждать, иначе самостоятельно справиться с подобной задачей у него не выйдет.

Ответ: 9 тысяч.

Прошлая задача, можно сказать, уже содержала математическую модель в готовом виде. Давайте теперь посмотрим, как выглядит номер без единого выражения в условии.

Задача 2.2

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пожалуй, школьнику может быть трудно осознать, что время работы в этой задаче — это не просто t, а t². Еще, вероятно, ему захочется вспомнить формулу работы, но тут она совершенно ни к чему:

Предприниматель хочет заработать побольше, а для этого надо произвести и продать больше товара. Но при этом и заплатить рабочим хочется меньше. Из-за того, что производительность на одном заводе выше, и товары производятся быстрее, а оплата труда та же, имеет смысл нагрузить его чуть больше. Надо посчитать, как именно следует распределить производство между заводами.

С одной стороны, нам интересно максимально много товара:

Если для ученика индексы при t станут неожиданностью, объясните, что работать на заводах будут разное количество времени.

С другой — у Григория есть ограничения по бюджету:

До сих пор мы не могли исследовать функцию производства товара на максимум, ведь переменных там было две, и ни одну из них зафиксировать мы не могли. Но теперь мы можем выразить, к примеру, t₁ из второго уравнения, и тогда анализ станет возможным.

Ура! С этого момента школьник точно в курсе, что делать, дайте ему поработать самостоятельно.Ищем производную и приравниваем к нулю:

Ваш подопечный помнит, как правильно оформляется дробно-рациональное уравнение? Несмотря на то, что ОДЗ в данном случае никак на ответ не повлияет, не стоит рисковать и забывать про него.

Обратите внимание школьника: мы не стали перемножать большие числа. Потому что знаем: скоро придется делить.

И снова повод убедиться, не забывает ли подопечный проверять тут знаки интервалов подстановкой.

Мы нашли количество рабочих часов на втором заводе. Дайте выпускнику сориентироваться в решении. Что делать дальше?

Осталось ответить на вопрос задачи:

Ответ: 680 единиц товара.

Подведём итог

Мы рассмотрели 2 оставшихся прототипа 17 номера ЕГЭ по математике.

В первом случае выпускник будет работать с задачкой на проценты, где для него мало нового. Во втором ему придется вытащить из условия функцию для анализа с помощью производной.

Учитывайте, что текстовые задачи — довольно трудный для подростков формат работы, потому сопротивление ожидаемо. Однако, только экономическую задачу можно уместить всего в пару уроков разбора, все остальные номера займут гораздо больше времени! Нельзя упускать такую возможность подготовиться и урвать пару дополнительных драгоценных баллов. Донесите это до ученика, и…

Пусть удача всегда будет с вами!

(с) Голодные игры